Metáfora é a figura de palavra em que um termo substitui outro em vista de uma relação de semelhança entre os elementos que esses termos designam. Essa semelhança é resultado da imaginação, da subjetividade de quem cria a metáfora. A metáfora também pode ser entendida como uma comparação abreviada, em que o conectivo comparativo não está expresso, mas subentendido.
Na comparação metafórica (ou símile), um elemento A é comparado a um elemento B através de um conectivo comparativo (como, assim como, que nem, qual, feito etc. ). Muitas vezes a comparação metafórica traz expressa no próprio enunciado a qualidade comum aos dois elementos:

Esta criança é forte como um touro .
elemento A qualidade comum conectivo elemento B

Já na metáfora, a qualidade comum e o conectivo comparativo não são expressos e a semelhança entre os elementos A e B passa a ser puramente mental:
Do ponto de vista lógico, a criança é uma criança, e um touro é um touro. Uma criança jamais será um touro. Mas a criança é teria a sua força comparada á de um touro.
Veja o exemplo:

“O tempo é uma cadeira ao sol, e nada mais”(Carlos Drummond de Andrade)

A associação do tempo a uma cadeira ao sol é puramente subjetiva. Cabe ao leitor completar o sentido de tal associação, a partir da sua sensibilidade, da sua experiência. Essa metáfora, portanto, pode ser compreendida das mais diferentes formas. Isso não quer dizer que ela possa ser interpretada de qualquer jeito, mas que a compreensão dela é flexível, ampla.
Observe a transformação de comparações metafóricas (ou símiles) em metáforas:

O Sr. Vivaldo é esperto como uma raposa.
(comparação metafórica)

O Sr. Vivaldo é uma raposa.
(metáfora)

A vida é fugaz como chuva de verão.
(comparação metafórica)

A vida é chuva de verão.
(metáfora)

Nesse último exemplo, o elemento A (as mangueiras está sendo comparado ao elemento B (intermináveis serpentes), pois há uma semelhança no modo como ambos se põem em relação ao chão. Os galhos da mangueira, por serem baixos e tortuosos, lembram intermináveis serpentes
Na linguagem cotidiana, deparamo-nos com inúmeras expressões como:

cheque-borracha
cheque-caubói
voto-camarão
manga-espada
manga-coração-de-boi

Nos exemplos já vistos, fica bastante claro o porquê existência de metáforas. Diante de fatos e coisas novas, que não fazem parte da sua experiência, o homem tem a tendência de associar esses fatos e essas coisas a outros fatos e coisas que ele já conhece. Em vez de criar um novo nome para o peixe, ele o associa um objeto da sua experiência (espada) e passa a denominá-lo peixe-espada. O mesmo acontece com peixe-boi, peixe-zebra, peixe-pedra, etc. (Se quiser fazer uma experiência, abra o dicionário na palavra "peixe" e verá quantas expressões são formadas a parti desse processo . ) 

Muitos verbos também são utilizados no sentido metafórico. Quando dizemos que determinada pessoa "é difícil de engolir", não estamos cogitando a possibilidade de colocar essa pessoa estômago adentro. Associamos o ato de engolir (ingerir algo, colocar algo para dentro) ao ato de aceitar, suportar, agüentar, em suma, conviver. Alguns outros exemplos:

A vergonha queimava-lhe o rosto.
As suas palavras cortaram o silêncio.
O relógio pingava as horas, uma a uma, vagarosa mente.
Ela se levantou e fuzilou-me com o olhar.
Meu coração ruminava o ódio.

Até agora, vimos apenas casos de palavras que assumiam um sentido metafórico. No entanto, existem expressões inteiras (e até textos inteiros) que têm sentido metafórico, como:
ter o rei na barriga: ser orgulhoso, metido
saltar de banda: cair fora, omitir-se
pôr minhocas na cabeça : pensar em bobagens , pensar em tolices
dar um sorriso amarelo: sorrir sem graça tudo azul: tudo bem
ir para o olho da rua: ser despedido, ser mandado embora

Como se pode perceber, a metáfora afasta-se do raciocínio lógico, objetivo. A associação depende da subjetividade de quem cria a metáfora, estabelecendo uma outra lógica, a lógica da sensibilidade.