6. Discussão de um sistema linear utilizando-se o Teorema de Rouché-Capelli.
Seja o sistema linear S
com m equações e n incógnitas.
p representa a característica da matriz incompleta (M.I)
q representa a característica da matriz completa (M.C)
Considerando a condição acima, o Teorema de Rouché-Capelli garante que:
Como resolver um sistema determinado (p = q = n)
Quando o sistema é Possível e Determinado ele pode ser resolvido através da Regra de Cramer ou de outro método qualquer, tendo em vista que:
– o sistema será normal quando o número de incógnitas n for o mesmo número de equações m.
– quando o número de incógnitas n for menor do que o número de equações m deve-se retirar de m – n equações convenientes, para se obter um sistema normal.
Como resolver um sistema indeterminado (p = q < n)
Em um sistema possível e indeterminado é possível obter infinitas soluções seguindo os seguintes passos:
1) Extrair do sistema um novo sistema normal com p equações e p incógnitas, retirando-se de algumas equações e passando para o segundo membro algumas incógnitas.
2) Conceder valores arbitrários à todas as incógnitas que passaram para o segundo membro.
3) Fazer a resolução do novo sistema através da Regra de Cramer ou de qualquer outro método.
Grau de indeterminação
Em um sistema possível e indeterminado, o grau de indeterminação é dado por n – p, correspondente ao número de incógnitas escolhidas arbitrariamente, onde:
n é o número de incógnitas e
p é a característica da matriz.