Projeções ortogonais 

Projeções de um ponto 

Chamamos a projeção ortogonal de um ponto num plano de “pé da perpendicular” ao plano pelo ponto. 

P é o ponto considerado a projeção ortogonal de P em α. Assim, denominamos ponto α de plano de projeção e a reta perpendicular r de reta projetante.

Projeção de uma figura 

O agrupamento das projeções ortogonais dos pontos da figura é a projeção ortogonal da mesma num plano.

Vejamos o modelo: 

Na figura, o retângulo é a projeção ortogonal do cilindro num plano paralelo ao eixo. Já o círculo é a projeção do mesmo cilindro num plano paralelo a base. Assim:

Projeção de uma reta 

A projeção ortogonal de uma reta num plano é a união das projeções ortogonais dos pontos da reta neste plano. 

I) Uma vez que a reta for perpendicular ao plano, a sua projeção ortogonal será um ponto. 

Na imagem, P forma a projeção ortogonal de r em α 

II) Caso a reta não seja perpendicular ao plano, a sua projeção ortogonal projeção ortogonal será outra reta. 

Na imagem, r forma projeção ortogonal de r em α.

Ângulo entre reta e plano

Uma vez que reta for perpendicular a um plano, o ângulo entre eles será reto. Assim, caso a reta seja obliqua em comparação ao plano, o ângulo entre eles será o ângulo que ela formará com sua projeção ortogonal. Desta forma:

Na imagem, obtemos: 

A reta s estabelece ângulo reto com α.
O ângulo θ que a reta r estabelece com o plano α é o ângulo que a reta r estabelece com sua projeção ortogonal r’.

Retas de maior declive

Denominamos retas de maior declive de um plano α em comparação a um plano β às retas de α que constituem o maior ângulo existente com β. Comprova-se assim que os dois planos são secantes as retas de maior declive de um em relação ao outro são perpendiculares à intersecção. 

Na imagem, r forma uma reta de maior declive de α em comparação a β.

Ângulo entre planos 

O ângulo entre dois planos é o ângulo que uma reta de maior declive de um forma com o outro. 

Na imagem:

r representa uma reta de maior declive de α em comparação a β.

r’ representa a projeção ortogonal da reta r em β.

θ representa o ângulo entre α e β.