8. Divisão de polinômios
Definição
Considere dois polinômios: A(x) denominado dividendo e B(x) denominado divisor, com B(x) ≠ 0.
Na divisão de A por B obtemos a função polinomial Q, denominada quociente, e a função polinomial R denominada resto, onde A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x) e o grau do resto é menor que o grau do divisor.
Veja a representação:
Veja no exemplo abaixo que se o grau do divisor for maior que o grau do dividendo, conseqüentemente o quociente será nulo e o resto será igual ao dividendo.
Exemplo:
Dividindo A(x) = x2 + 3x + 3 por B(x) x3 + 4x4 + 5 obtemos Q(x) = 0 e R(x) x2 + 3x + 3
Veja:
Agora veja um exemplo em que gr(A) ≥ gr(B):
Dividindo A(x) = x3 + 3x + 4 por B(x) = x2 – 1, obtemos Q(x) = x e R(x) = 4x + 4
Veja:
Cálculo de Q e R
A existência e a unicidade do quociente (Q) e do resto (R) da divisão de A por B, sendo B ≠ 0, é garantida. Ambos podem ser calculados através do Método da Chave.
Método da chave
Considerando os polinômios A e B já reduzidos e ordenados, podemos dizer que o Método da Chave é mecanismo prático que tem a função de obter o quociente (Q) e o resto (R), em diversas etapas, de uma forma semelhante a que fazemos na divisão euclidiana de números naturais.
Exemplo:
Na divisão A(x) = 2x3 + 7x2 + 4x – 4 por B(x) = x2 + 2x – 3 através do Método da Chave, temos:
1) Primeiro grupo de operações:
Dividimos o primeiro fragmento do dividendo pelo primeiro fragmento do divisor, obtendo assim a primeira parcela do quociente, e logo depois o primeiro resto parcial.
Lembre-se que: R = A – B . Q
Conclusões:
►Como há o cancelamento do primeiro fragmento, o grau do dividendo é maior que o grau do resto parcial.
►2x3 + 7x2 + 4x – 4 ≡ (x2 + 2x – 3) . (2x) + (3x2 + 10 – 4)
►Como o grau do resto parcial não é menor que o grau do divisor, podemos dizer que a divisão ainda não foi concluída.
2) Segundo grupo de operações
Dividimos o primeiro fragmento do primeiro resto parcial pelo primeiro fragmento do divisor, obtendo assim o próximo fragmento do quociente, e logo depois o segundo resto parcial.
Lembre-se que: R = A – B . Q
Conclusões:
►Como há o cancelamento do primeiro fragmento, o grau do primeiro resto parcial é maior do que o grau do segundo resto parcial.
►2x3 + 7x2 + 4x – 4 ≡ (x2 + 2x – 3) . (2x + 3) + (4x + 5)
►Como o grau do divisor é maior do que o grau do segundo resto parcial, podemos dizer que a divisão foi concluída.
Portanto:
Da divisão 2x3 + 7x2 + 4x – 4 por x2 + 2x – 3 obtemos:
Q(x) = 2x + 3
R(x) = 4x + 5
Método de Descartes
É um método também conhecido como Método dos Coeficientes a Determinar, que tem como funções
– formar o quociente Q, em função de coeficientes a serem determinados, sendo que gr(Q) = gr(A) – gr(B).
– formar o resto R, em função de coeficientes a serem determinados, sendo que gr(R) < gr(B) ou R(x) ≡ 0.
– aproveitar a definição da divisão.
– através da identificação dos polinômios, obter os coeficientes Q e R.