Potências de i

6. Potências de i

Veja o cálculo das primeiras potências de i com expoente natural:

i⁰ = 1, por definição
i¹ = i, por definição
i² = – 1, constatado no item 4
i³ = i² . i = (-1) . i = -i
i⁴ = i² . i² = (-1) . (-1) = 1
i⁵ = i⁴ . i = 1 . i = i
i⁶ = i⁴ . i² = 1 . (-1) = -1
i⁷ = i⁴ . i³ = 1 . (-i) = -i
i⁸ = i⁴ . i⁴ = 1 . 1 = 1, etc.

Teorema

Considerando e r o resto da divisão de n, logo iⁿ = i^r

Veja a demonstração:

Sendo r o resto da divisão de n por 4, logo

Portanto:

Conclusão: