Como em quaisquer outras áreas da ciência matemática, a álgebra só foi levada a se desenvolver, porque as pessoas se basearam na motivação de resolver problemas do mundo concreto e exemplos da vida real. Isso se deve ao contexto histórico, uma vez que, até o final do século XIX, muitos dos problemas do real eram de algum modo conectados a alguma teoria de equações algébricas. Para ficar mais claro, entre esses temas importantes podemos apontar, por exemplo:
- Solucionar algum tipo de sistema de equações lineares, cujo desenvolvimento levou a conceituação de matrizes, de determinantes, bem como de toda a álgebra linear;
- No intuito de pesquisar para encontrar fórmulas variadas para soluções das equações de polinômios gerais, de grau maior, o que resultou, depois, na descoberta de grupos, como manifestação abstrata de simetria;
- Diversas pesquisas aritméticas de quadráticas e também estudos de formas de grau maior, além de equações diofantinas – ou equação polinomial que permite a duas ou mais variáveis assumir somente valores inteiros, que, por isso, produziram diretamente noções tanto de um anel quanto de ideal.
Várias obras sobre álgebra abstrata tendem a ter seu início enfocando um conceito teórico e absoluto para, só então, em seguida definir as diversas estruturas algébricas e estabelecer suas propriedades, criando uma impressão artificial e incorreta de que em algum momento, em se tratando de estudo sobre álgebra, conceitos precedem e motivam cálculos a posteriori. Na verdade, o que ocorre é absolutamente o contrário dessa ideia, ou seja, parte-se dos cálculos para se desenvolver o axioma.
A ordem histórica verídica do desenvolvimento da álgebra pode ser exemplificada através da história: os números hipercomplexos do século XIX tinham raízes na Física, mais exatamente na área que estuda o movimento – a cinemática. Entretanto, algo não satisfazia os estudiosos, que buscavam a compreensão formal do assunto. Assim, testam-se cálculos e fórmulas para se chegar ao conceito.
Esse percurso teórico ocorreu com a maior parte das teorias que são, hoje em dia, reconhecidas como momentos da álgebra, que exatamente tiveram início de forma muito pouco exata, a bem da verdade, como espécies de coleções avulsas de fatos de vários ramos da ciência matemática e que passaram a adquirir, com o tempo, um tema comum que servia como um “Sol”, em torno do qual vários resultados giravam e acabavam sendo agrupados, e finalmente se tornaram unificadas em uma base num conjunto comum de conceitos.
Dentro da matemática, podemos chamar de determinante tudo o que se refere a um determinado tipo de função matricial – ou melhor, aquela função cujo domínio são matrizes – que se caracteriza por associar a cada matriz quadrada um escalar – ou seja, um valor numérico único, que é associado a uma unidade de medida determinada, a fim de caracterizar uma grandeza física -; que transforma tal matriz em um número real – ou seja, parte do conjunto de numerais racionais e irracionais. A função permite saber se a matriz apresenta ou não uma inversa, pois as matrizes que não têm um invero são exatamente aquelas cujo determinante é precisamente igual a 0.