Estudo das Derivadas
Interpretação Geométrica
O valor numérico da derivada de uma função
y = f(x) no ponto de coordenadas (x0 ; y0) é o coeficiente angular da reta tangente à curva obtida pela função dada neste ponto, ou seja,
y – y0 = m . (x – x0) ou y – y0 = f’(x0) . (x – x0)
Verificação:
Portanto a equação da reta tangente no ponto de abscissa x0 é:
y – y0 = m . (x – x0) ou
y – y0 = tg
y – y0 = f’(x0) . (x – x0)
Derivada de uma Função
Uma função f diz-se derivável em um certo intervalo aberto, se for derivável em todos os pontos desse intervalo. A função derivada de f, representada por f’, é obtida pelo limite.
Aplicação
Encontrar a equação da reta tangente à curva
y = x2 – 2x + 1, no ponto de abscissa igual a –2.
Solução:
f(-2) = (–2).(–2) – 2(–2) +1 = 4 + 4 + 1 = 9
y’= 2x – 2
f’(–2) = (–2) – 2 = –4
y – f(–2) = f’(–2).(x + 2) y – 9 = –4(x + 2) r: y = –4x + 1
Regras de Derivação
Por meio da definição, dada anteriormente, da derivada de uma função, provam-se as seguintes regras de derivação.
1. Derivada de uma constante
Sendo K um número real qualquer, tem-se:
f(x) = K→ f’(x) = 0
2. Derivada da função identidade
A derivada da função identidade é igual à unidade.
f(x) = x →f’(x) = 1