Posição relativa de duas retas

Posição relativa de duas retas 

Introdução 

Aprendemos em Geometria Plana que duas retas r e s podem assumir as seguintes posições relativas: 

a) concorrentes (caso particular importante: perpendiculares)
b) paralelas (distintas)
c) coincidentes 

Relações entre os coeficientes 

Considere as retas r e s (não-verticais), cujas equações reduzidas são, respectivamente: 

(r) : y m_r . x + h_r (s) : m_s . x + h_s 

A seguir, temos as posições relativas das retas r e s: 

Retas concorrentes

Se 0° ≤ θ_r < 180° e 0° ≤ θ_s < 180°, temos:

r e s concorrentes ⇔ θ_r ≠ θ_s ⇔ tg θ_r ≠ tg θ_s ⇔
⇔ m_r ≠ m_s 

Conclusão: 

“Se duas retas são concorrentes, seus coeficientes angulares são diferentes, e vice-versa.” 

Retas perpendiculares (caso particular importante)

Se 0° ≤ θ_r < 180° e 0°≤ θ_s < 180°, temos:
r e s perpendiculares ⇔ θ_s = 90° + θ_r ⇔ 
⇔ tg θ_s = tg (90° + θ_r) ⇔ tg θ_s = – cotg θ_r ⇔

Conclusão: 

“Se duas retas são perpendiculares, o coeficiente angular de uma é o oposto do inverso do coeficiente angular da outra, e vice-versa.” 

Retas paralelas (distintas)

Se 0° ≤ θ_r < 180° e 0°≤ θ_s < 180°, temos:

Conclusão: 

“Se duas retas são paralelas distintas, seus coeficientes angulares são iguais e seus coeficientes lineares são diferentes, e vice-versa.” 

Retas coincidentes

Se 0° ≤ θ_r < 180° e 0° ≤ θ_s < 180°, temos:

Conclusão: 

“Se duas retas são coincidentes, seus coeficientes angulares são iguais e seus coeficientes lineares são iguais, e vice-versa.”