Raízes racionais

8. Raízes racionais

Teorema Considerando o número racional , sendo p e q primos entre si, como a raiz da equação a₀ . xⁿ + a₁ . x^n-1 + … + a_n-1 . x + a_n = 0, sendo a₀ ≠ 0 e coeficientes inteiros, nesse caso p é divisor de a_n e q é divisor de a₀.

Demonstração 

Considerando  como a raiz da equação, nesse caso, temos:

Isolando o termo a₀ . p_n, na igualdade acima, é possível evidenciar q; da mesma forma, isolando a_n . q_n é possível evidenciar p.

Portanto: 

Considerando:

Temos:

Conseqüências:

1) Quando a equação a₀ . xⁿ + a₁ . x^n-1 + … + a_n-1 . x + a_n = 0, de coeficientes inteiros, admite uma raiz inteira p, nesse caso p será divisor de a_n.

2) Qualquer raiz racional da equação 1 . xⁿ + a₁ . x^n-1 +
+ … + a_n-1 . x + a_n = 0, de coeficientes inteiros, é obrigatoriamente inteira.

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