7. Raízes nulas

Considere F : C → C como a função polinomial determinada por F(x) a0 . xn + a1 . xn-1 + a2 . xn-2 + … + an-3 . x3 +
+ an-2 . x2 + an-1 . x + an

Em relação às raízes nulas da equação F(x) = 0, garante-se que: 

⇒ an ≠ 0 ⇔ zero não é raiz, pois F(0) = an ≠ 0 
⇒ an = 0 e an-1 ≠ 0 ⇔ zero é uma raiz simples, pois então a equação dada é equivalente à:

x . (a0. xn – 1 + a1. xn – 2 + a2 . xn – 3 +… + an- 3 . x2 + an – 2 . x + an – 1) = 0. 

⇒ an = an – 1 = 0 e an – 2 ≠ 0 ⇔ zero é uma raiz dupla, pois então a equação dada é equivalente a:

x2. (a0. xn – 2 + a1. xn – 3 + a2 . xn – 4 +… + an – 3. x + an – 2) = 0

⇒ an = an – 1 = an – 2 = 0 e an – 3 ≠ 0 ⇔ zero é uma raiz tripla; e assim por diante.