Raízes múltiplas

6. Raízes múltiplas

Definição

O número r ∈ C será raiz múltipla da equação F(x) = 0 com multiplicidade m, quando:

F(x) = (x – r)^m. Q(x) e Q(r) ≠ 0 

Portanto, considerando as raízes da equação F(x) = 0 como r₁, r₂, … r_p com multiplicidade m₁, m₂, …, m_p, respectivamente, a decomposição que vimos anteriormente será:

F(x) = a₀ . (x – r₁)^m1 . (x – r₂)^m2 . … . (x – r_p)^mp 

Sendo m₁ + m₂ + … + m_p = n e r₁, r₂, …, r_p distintas duas a duas. 

Teorema

Considerando r como a raiz F(x) = 0 com multiplicidade m, nesse caso r é a raiz da equação F’(x) = 0 com multiplicidade m -1, sendo F’ a função derivada da função polinomial F.

Conseqüências

1) Considere r como a raiz simples de F(x) = 0, nesse caso r não é raiz de F’(x) = 0.

2) Considere r como a raiz dupla de F(x) = 0, nesse caso r é a raiz simples de F’(x) = 0.

3) Considere r como a raiz tripla de F(x) = 0, nesse caso r é a raiz dupla de F’(x) = 0, raiz simples de F’’(x) = 0 e não é raiz de F’’’(x) = 0, e assim por diante.