9. Raízes complexas
Teorema
No caso de o número complexo x + yi, sendo y ≠ 0, ser a raiz da equação a0 . xn + a1 . xn-1 + … + an-1 . x + an = 0, de coeficientes reais, sendo assim o seu conjugado x – yi também será raiz.
E ainda, x + yi e x – yi também serão raízes de mesma multiplicidade.
Conseqüências:
1) Equação do 2º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas raízes complexas conjugadas (não reais).
2) Equação do 3º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou uma real e duas complexas conjugadas(não reais).
3) Equação do 4º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas raízes complexas conjugadas (não reais) e as outras reais ou apenas raízes complexas (não reais), duas a duas conjugadas.
4) Equação do 5º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas raízes complexas conjugadas e as outras reais ou pelo menos uma raiz real e as outras raízes complexas (não reais), duas a duas conjugadas. E assim sucessivamente.
5) Uma equação algébrica de coeficientes reais possui sempre um número par de raízes complexas não reais.
6) Qualquer equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar, sempre terá pelo menos uma raiz real.
7) Considere x + yi, sendo y ≠ 0, como a raiz da equação F(x) = 0, e x – yi não é a raiz dessa equação, nesse caso pelo menos um dos coeficientes de F não será real.