6. Sistemas de numeração

Sistema decimal

O sistema de numeração que é utilizado mundialmente é o sistema decimal, pois contamos em grupos de 10.
Os números do sistema decimal são simbolizados pelos algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
No sistema decimal cada algarismo tem valor posicional, ou seja, cada algarismo tem um valor de acordo com a sua posição na representação do numeral.

Exemplo:

O número 3485 é a representação simbólica do número natural três mil quatrocentos e oitenta e cinco, que na verdade significa:

3 . 1000 + 4 . 100 + 8 . 10 + 5 . 1 

Portanto:

(3485)10 = 3 . 103 + 4 . 102 + 8 . 101 + 5 . 100

Equivalente a:

(3485)10 = 3 milhares + 4 centenas + 8 dezenas + 5 unidades 

Outros sistemas posicionais

Atualmente o sistema decimal é utilizado mundialmente, mas antes dele se tornar exclusivo existiram outros sistemas como o binário e o hexadecimal.

Veja abaixo alguns desses sistemas, e como representar os números nesses sistemas e como passar uma base qualquer para a base 10.

Observação: 

Sistema de base 2

O sistema de base 2, também conhecido como sistema binário, utiliza 2 algarismos do conjunto {0, 1}.

Exemplo:

(303)2 = 3 . 22 + 0 . 21 . 3 . 20 = 12 + 0 + 3 = 15

Logo: (303)2 = (15)10 

Sistema de base 12

O sistema de base 12, também conhecido como sistema duodecimal, utiliza 12 algarismos no conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b}, onde os algarismos a e b representam no sistema decimal os números 10 e 11, respectivamente.

Exemplo:

(37a)12 = 3 . 122 + 7 . 121 + (11) . 120 =

432 + 84 + 11 = 527

Logo: (37a)12 = (527)10 

Sistema de base 16

O sistema de base 16, também conhecido como sistema hexadecimal, utiliza 16 algarismos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f}, sendo que os algarismos a, b, c, d, e, f representam no sistema decimal os números 10, 11, 12, 13, 14, 15, respectivamente.

Exemplo:

(134c)16 = 1 . 163 + 3 . 162 + 4 . 161 + 12 . 160 =

4096 + 768 + 64 + 12 = 4940

Logo: (134c)16 = (4940)10

Mudança de base

Podemos passar um número do sistema decimal para outro sistema qualquer.

Veja o exemplo:

Para passar o número 85 do sistema decimal para o sistema de base 6 basta decompor o número 85 numa soma de 6 potências. Portanto, dividimos 85 por 6: 

Colocando o 2 em 1, temos:

85 = (2 . 6 + 2) 6 + 1 ⇔ 69 = 2 . 62 + 2 . 61 . 1 . 60

Logo: (85)10 = (221)6 

Veja abaixo o mecanismo utilizado no exemplo acima, para passar um número de base 10 para qualquer outra base: 

Veja a representação: